Question

【題目】(1)方法選擇

如圖①，四邊形是的內接四邊形，連接，，．求證：.

小穎認為可用截長法證明：在上截取，連接…

小軍認為可用補短法證明：延長至點，使得…

請你選擇一種方法證明．

(2)類比探究

（探究1）

如圖②，四邊形是的內接四邊形，連接，，是的直徑，．試用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明你的結論．

（探究2）

如圖③，四邊形是的內接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關系式是______．

(3)拓展猜想

如圖④，四邊形是的內接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關系式是______．

Answer 1

【答案】(1)方法選擇：證明見解析；(2)【探究1】：；【探究2】；(3)拓展猜想：.

【解析】

（1）方法選擇：根據等邊三角形的性質得到∠ACB=∠ABC=60°，如圖①，在BD上截取DM=AD，連接AM，由圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根據全等三角形的性質得到BM=CD，于是得到結論；

（2）類比探究：如圖②，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據等腰直角三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=45°，過A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得DM=AD根據全等三角形的性質得到結論；

【探究2】

如圖③，根據圓周角定理和三角形的內角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠AMD=30°，根據直角三角形的性質得到MD=2AD，根據相似三角形的性質得到BM=CD，于是得到結論；

（3）如圖④，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根據相似三角形的性質得到BM=CD，DM=AD，于是得到結論．

(1)方法選擇：∵，

∴，

如圖①，在上截取，連接，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴；

(2)類比探究：如圖②，

∵是的直徑，

∴，

∵，

∴，

過作交于，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

[探究2]如圖③，∵若是的直徑，，

∴，，

過作交于，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴；

故答案為；

(3)拓展猜想：；

理由：如圖④，∵若是的直徑，

∴，

過作交于，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴.

故答案為.