Question

如圖所示，將一邊長為3的正方形放置到平面直角坐標系中，其頂點A、B均落在坐標軸上，一拋物線過點A、B，且頂點為P（1，4）

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M為拋物線上一點，恰使△MOA≌△MOB，求點M的坐標；

（3）y軸上是否存在一點N，恰好使得△PNB為直角三角形？若存在，直接寫出滿足條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）由正方形的性質可知OA=OB=3，從而得到點A的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）²+4，把A（0，3）代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）由全等三角形對應邊相等可知MA=BM，從而可知點M在AB的垂直平分線上，故此點M為直線OC與拋物線的交點，然后求得直線OC與拋物線的交點坐標即可；

（3）設N（0，t）．分為∠PNB=90、∠NPB=90°、∠PBN=90°三種情況畫出圖形，然后依據相似三角形對應邊成比例列出關于t的方程求解即可．

【解答】解：（1）∵正方形的邊長為3，

∴A（0，3），B（3，0）．

設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）²+4．

∵把A（0，3）代入得：a+4=3，解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）²+4=﹣x²+2x+3．

（2）如圖1所示：

∵△MOA≌△MOB，

∴AM=BM．

∴點M在AB的垂直平分線上．

∵OACB為正方形，

∴OC為AB的垂直平分線．

設OC的解析式為y=kx，

∵將C（3，3）代入得：3k=3，解得：k=1，

∴直線OC的解析式為y=x．

由y=x與y=﹣x²+2x+3得：x=﹣x²+2x+3，解得：x₁=，x₂=．

∴M（，），M′（，）．

∴點M的坐標為（，）或（，）．

（3）設N（0，t）．

①當∠PNB=90時，如圖2所示．連接PN、BN，過點P作PM⊥y軸，垂足為M．

由△PMN∽△NOB，得：，解得：t₁=1，t₂=3．

②當∠NPB=90°時．

如圖3所示；連接PN、BN，過點P作x軸的平行線，交BC延長線與點M．

由△PMN∽△NOB，得：，解得：t=．

③當∠PBN=90°時，如圖4所示，過點P作x軸的平行線，交BC延長線與點M．

由△PMB∽△NOB得：，解得：t=﹣．

綜上所述，點M的坐標為（0，1）、（0，3）、（0，）、（0，﹣）．

【點評】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題需要熟練掌握待定系數法求函數解析式的步驟和方法、二次函數表達式的三種基本形式、相似三角形的性質、正方形的性質，分類討論是解題的關鍵．