Question

已知等腰三角形一腰的中線長為7.5，頂角平分線長為9，那么這個三角形的面積是（　　）

• A、31.5
• B、36
• C、54
• D、67.5

Answer 1

分析：設CF，AD分別是等腰三角形腰AB上的中線和頂角的角平分線，延長CF到G，使FG=CF，連接AG，根據等腰三角形三線合一的性質可得到AD是BC邊上的中線，從而可得到點H為△ABC的重心，即可求得HF，AH的長，再根據SAS判定△AFG≌△BFC，由全等三角形的性質及平行線的性行可得到AG=BC，∠GAD=90°從而利用勾股定理即可求得AG的長，則此時不難求三角形的面積．

解答：解：如圖，設CF，AD分別是等腰三角形腰AB上的中線和頂角的角平分線，延長CF到G，使FG=CF，連接AG．
∵AD是BC邊上的高，AB=AC，
∴AD是BC邊上的中線，
∵CF是腰AB上的中線，
∴點H為△ABC的重心，
∵CF=7.5，AD=9，
∴HF=

1

3

CF=2.5，AH=

2

3

AD=6，
∵AF=BF，CF=GF，∠AFG=∠BFC，
∴△AFG≌△BFC，
∴AG=BC，∠G=∠FCB，
∴AG∥BC，
∵AD⊥BC，
∴∠GAD=90°，
∴AG=

GH2-AH2

=

102-62

=8，
∴BC=8，
∴S_△ABC=

1

2

BC×AD=

1

2

×8×9=36．
故選B．

點評：此題主要考查等腰三角形的性質及全等三角形的判定及性質的綜合運用，關鍵是輔助線的添加方法．