Question

【題目】如圖，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．

（1）求點B的坐標；

（2）求經過A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ． (2) (3)

【解析】【試題分析】（1）在直角三角形BCO中利用三角函數求解；（2）知道拋物線與x軸的兩個交點，設成交點式求解；（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設點P的坐標為(2, y)．

分三種情況討論：①當OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．

②當BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．

③當PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．故求.

【試題解析】

（1）如圖1，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2， ．

所以點B的坐標為．

（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，

代入點B， ．解得．

所以拋物線的解析式為．

（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設點P的坐標為(2, y)．

①當OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．

當P在時，B、O、P三點共線（如圖1）．

②當BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．

③當PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．

綜合①、②、③，點P的坐標為，如圖2所示．