Question

8．如圖，已知點C在線段AB上，在AB的同側作等邊三角形△ACM和△BCN，連接AN，BM．
（1）求證：△CAN≌△CMB；
（2）已知∠NBM=35°，求∠ANB的度數；
（3）若∠NBM=n°，請用含n的代數式表示∠ANB的度數．

Answer 1

分析 （1）由△AMC和△CNB都為等邊三角形，可得出AC=MC，CB=CN，且∠ACM=∠MCB=60°，利用等式的性質得到一對角相等，再利用SAS可得出△CAN≌△CMB；
（2）根據角的和差得到∠CBM=25°，根據全等三角形的性質得到∠ANC=∠CBM=25°，根據角的和差即可得到結論；
（3）根據角的和差得到∠CBM=（60-n）°，根據全等三角形的性質得到∠ANC=∠CBM=（60-n）°，根據角的和差即可得到結論．

解答 （1）證明：∵△AMC和△CNB都為等邊三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠MCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠MCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=MC}\\{∠ACN=∠MCB}\\{CN=CB}\end{array}\right.$，
∴△CAN≌△CMB（SAS）；

（2）解：∵∠CBN=60°，∠NBM=35°，
∴∠CBM=25°，
∵△CAN≌△CMB，
∴∠ANC=∠CBM=25°，
∵∠CNB=60°，
∴∠ANB=85°；

（3）解：∵∠CBN=60°，∠NBM=n°，
∴∠CBM=（60-n）°，
∵△CAN≌△CMB，
∴∠ANC=∠CBM=（60-n）°，
∵∠CNB=60°，
∴∠ANB=60°+（60-n）°；
∴∠ANB=（120-n）°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，熟練掌握全是三角形的性質定理是解題的關鍵．