Question

（本題10分）如圖，AB為⊙O的直徑，EF切⊙O于點D，過點B作BH⊥EF于點H，交⊙O于點C，連接BD.

（1）求證：BD平分∠ABH；

（2）如果AB=12，BC=8，求圓心O到BC的距離.

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據EF切⊙O于點D，可得OD⊥EF，又BH⊥EF，所以OD∥BH，然后證明∠ODB=∠OBD=∠DBH即可；（2）過點O作OG⊥BC于點G，由垂徑定理和勾股定理可求出圓心O到BC的距離.

試題解析：（1）證明：連接OD.

∵EF是⊙O的切線，∴OD⊥EF. 2分

又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，

∴∠ODB=∠DBH. 4分

而OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，

∴∠OBD=∠DBH，

∴BD平分∠ABH. 5分

（2）過點O作OG⊥BC于點G，則BG=CG=4，

在Rt△OBG中，OG=. 10分

考點：1.切線的性質；2.圓的基本性質；3. 垂徑定理；4. 勾股定理.