Question

（本題12分）射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，

QM=4cm．動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心， cm

為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上），求t值（單位：秒）.

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：分為三種情況討論：①⊙P與邊AB相切；②⊙P與邊AC相切；③⊙P與邊BC相切.連結點P與切點，根據切線的性質可得直角三角形，又△ABC是等邊三角形，所以在直角三角形中利用特殊角的三角函數值可解決問題.

試題解析：【解析】
∵△ABC是等邊三角形，QN∥AC∴△BMN是等邊三角形 2分

分為三種情況：

①如圖1，

當⊙P切AB于M′時，連接PM′，則PM′=cm，∠PM′M=90°，

∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2； 5分

②如圖2，

當⊙P于AC切于A點時，連接PA，

則∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，

即t=3， 7分

當當⊙P于AC切于C點時，連接PC，

則∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，

∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，

即當3≤t≤7時，⊙P和AC邊相切； 9分

③如圖3，

當⊙P切BC于N′時，連接PN′

則PN′=cm，∠PM\N′N=90°，

∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；

綜上所述：t=2或3≤t≤7或t=8． 12分

考點：1. 等邊三角形的性質；2.切線的性質；3.直角三角形的性質；4.特殊角的三角函數值.