Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接DE．

（1）求證：DE是半圓⊙O的切線．

（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的長．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OD,根據(jù)條件證明即可；（2）根據(jù)條件可得BC=2DE=4，Rt△ABC中，先由∠BAC=30°，得AC=2 BC =8，再根據(jù)條件可證△EDC為等邊三角形，可得出DC=2， AD=AC-CD=6．

試題解析：（1）證明：連接OD，OE，

∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)，∴DE=BE，

在△OBE和△ODE中，OB=OD，OE=OE，BE=DE，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，所以DE為圓O的切線；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC= AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60°，DE=DC，∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，所以AD=AC-DC=6．

考點(diǎn)：1.切線的判定；2.直角三角形的性質(zhì)；3. 等邊三角形的判定與性質(zhì).