Question

（本題滿分10分）Rt△ABC與Rt△FED是兩塊全等的含30o、60o角的三角板，按如圖（一）所示拼在一起，CB與DE重合．

（1）求證：四邊形ABFC為平行四邊形；

（2）取BC中點(diǎn)O，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖（二）中△位置，直線與AB、CF分別相交于P、Q兩點(diǎn)，猜想OQ、OP長度的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

（3）在（2）的條件下,指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時(shí),四邊形PCQB為菱形（不要求證明）.

Answer 1

（1）證明：（見解析） （4分）（2）證明：（見解析） （4分）（3） （2分）

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)椤鰽BC≌△FCB，所以AB=CF，AC=BF，然后根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可證；（2）要想證明OP=OQ，只需要根據(jù)條件證明△COQ≌△BOP即可；（3）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形的菱形進(jìn)行分析即可．

試題解析：（1）證明：∵△ABC≌△FCB，∴AB=CF，AC=BF．∴四邊形ABFC為平行四邊形．（用其它判定方法也可）

（2）OP=OQ，

理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，∴△COQ≌△BOP，∴OQ=OP．（用平行四邊形對稱性證明也可）

（3）90°．理由：∵OP=OQ，OC=OB，∴四邊形PCQB為平行四邊形，∵BC⊥PQ，∴四邊形PCQB為菱形．

考點(diǎn)：1.平行四邊形的判定與性質(zhì)；2.圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；3.菱形的判定.