Question

13．如圖，在矩形ABCD中，E為邊CD的中點，連接AE、BE、BE交AC于點O
（1）求證：AE=BE；
（2）求$\frac{OE}{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由在矩形ABCD中，E為邊CD的中點，可利用SAS證得△ADE≌△BCE，則可證得AE=BE；
（2）由四邊形ABCD是矩形，易證得△AOB∽△COE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCE=90°，AD=BC，
∵E為邊CD的中點，
∴DE=CE，
在△ADE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠BCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△AOB∽△COE，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{CE}{AB}$，
∵E為邊CD的中點，
∴CE：AB=CE：CD=1：2，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{1}{2}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及全等三角形的判定與性質．注意證得△ADE≌△BCE與△AOB∽△COE是解此題的關鍵．