Question

3．己知直線y=kx+b與雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點（x₁＜x₂），直線AB與x軸交于P（x₀，0），與y軸交于點C，猜想并用等式表示x₁，x₂，x₀之間的關系，請說明理由．

Answer 1

分析 根據反比例函數圖象上點的坐標特征，得到m=x₁•y₁=x₂y₂，求得y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$，把A、B的坐標代入y=kx+b求得k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，b=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，從而得出直線為y=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$x+$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，令y=0，得到x₀=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，把y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$代入化簡即可求得x₀=x₁+x₂．

解答 解：猜想：x₁，x₂，x₀之間的關系為x₁+x₂=x₀．
∵直線y=kx+b與雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點（x₁＜x₂），
∴m=x₁•y₁=x₂y₂，
∴y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$
∵直線y=ax+b經過A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}k+b={y}_{1}}\\{{x}_{2}k+b={y}_{2}}\end{array}\right.$解得k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，b=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
∴直線為y=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$x+$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
令y=0，則x₀=-$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}•\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}}{\frac{x{{\;}_{2}y}_{2}}{{x}_{1}}-{y}_{2}}$=-$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=x₁+x₂．

點評 本題考查了待定系數法求解析式以及反比例函數和一次函數的交點問題，根據m=x₁•y₁=x₂y₂，得出y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$是解題的關鍵．