Question

如圖，在等腰△ABC中，AC=BC，分別以AC、BC為邊作等邊△ACE和△BCD．
（1）當兩等邊三角形如圖（1）所示位置時，BD交AE于F，連接CF，求證：CF平分∠ACB；
（2）都能夠兩等邊三角形如圖（2）所示位置時，EA的延長線交DB的延長線于F，（1）中結論是否仍然成立？為什么？
（3）當兩等邊三角形如圖（3）所示位置時，猜想射線CF平分圖中的哪些角？（不另作輔助線，不要求證明）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰三角形的性質,等邊三角形的性質

專題：

分析：（1）求證△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，得出結論；
（2）結論是否仍然成立，類比（1）的方法求證△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，得出結論；
（3）由（1）（2）可知，實際上CF是整個圖形的對稱軸所在的直線，由此寫出平分的角即可．

解答： （1）證明：∵CA=CB
∴∠CAB=∠CBA
∵△AEC和△BCD為等邊三角形
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠FAB=∠FBA
∴AF=BF．
在三角形ACF和△CBF中，

AF=BF AC=BC CF=CF

，
∴△AFC≌△CEB（SSS），
∴∠ACF=∠BCF，
∴CF平分∠ACB；
（2）解：結論CF平分∠ACB仍然成立．
理由：∵CA=CB
∴∠CAB=∠CBA
∵△AEC和△BCD為等邊三角形
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF．
在三角形ACF和△CBF中，

AF=BF AC=BC CF=CF

，
∴△AFC≌△CEB（SSS），
∴∠ACF=∠BCF，
∴CF平分∠ACB；
（3）解：CF平分∠ECB，∠ACD，∠EFB，∠DFA．

點評：此題考查三角形全等的判定與性質，等邊三角形的性質，以及角平分線的意義，結合圖形，靈活運用已知條件解決問題．