Question

如圖，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，有下列四個結論：
①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的點到B、C兩點的距離相等；④到AE，AF距離相等的點到DE、DF的距離也相等．
其中正確的結論有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據等腰三角形性質求出AD⊥BC，BD=DC，根據角平分線性質得出DE=DF，根據勾股定理求出AE=AF，即可得出答案．

解答：解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴∠EDA+∠BAD=∠FDA+∠CAD=90°，
∴∠EDA=∠FDA，
即DA平分∠EDF，∴①正確；
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AF²=AD²-DF²，
∴AE=AF，∴②正確；
∵AC=AB，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，AD平分BC，
∴AD上的點到B、C兩點的距離相等，∴③正確；
∵AD平分∠EAF，也平分∠EDF，
∴到AE，AF距離相等的點到DE、DF的距離也相等，∴④正確．
故選D．

點評：本題考查了勾股定理，角平分線性質，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生的推理能力．