Question

已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA．
（1）試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形嗎？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)△ABD≌△BAC（SAS），運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求得AC=BD，∠OAB=∠OBA．再根據(jù)等角對(duì)等邊證明OA=OB，從而證明OC=OD．再根據(jù)等邊對(duì)等角，有目的證明一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明AB∥CD；
（2）由（1）的證明，明確了該三角形是等腰梯形，故又稱兩腰即可得到一個(gè)等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）AB∥CD．理由如下：
在△ABD和△BAC中

AD=BC ∠DAB=∠CBA AB=BA

．
∴△ABD≌△BAC（SAS）．
∴∠OAB=∠OBA，BD=AC．
∴OA=OB．
∴AC-OA=BD-OB．
∴OD=OC．
∴∠ODC=∠OCD．
∵∠ODC+∠OCD+∠COD=180°，
∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，
∴2∠ODC+∠COD=180°．
2∠OBA+∠AOB=180°．
又∠COD=∠AOB，
∴∠CDO=∠OBA．
∴AB∥CD．

（2）四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形．理由如下：
延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)P，
∵∠DAB=∠CBA，
∴AP=BP．
∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．
又OA=OB，∴點(diǎn)O在AB的垂直平分線上．
∴OP垂直平分線段AB，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線OP對(duì)稱①．
∵AB∥DC，
∴∠PDC=∠PAB∠PCD=∠PBA．
∴∠PDC=∠PCD．
∴DP=CP，∴點(diǎn)P在DC的垂直平分線上．
又OD=OC，∴點(diǎn)O在DC的垂直平分線上．
∴OP垂直平分線段DC．
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線OP對(duì)稱②．
所以，綜上①②所述，四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形．

點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)及其判定，掌握證明軸對(duì)稱圖形的思路．