求證：菱形四條邊的中點在以對角線交點為圓心的同一個圓上．

已知：如圖所示，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，而點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．求證：E，F，G，H在以點O為圓心的同一個圓上．

答案：
解析：

　　證明：連結OE，OF，OG，OH，因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA．而E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，所以OE＝OF＝OG＝OH＝AB，所以E，F，G，H四個點在以O為圓心，以AB為半徑的圓上．

　　解題指導：要證明E，F，G，H四個點在以O為圓心的同一個圓上，只需證明EO＝FO＝GO＝HO，因為E，F，G，H是菱形各邊的中點，又因為菱形的對角線互相垂直，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可得EO＝FO＝GO＝HO＝AB，命題得證．

練習冊系列答案

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科目：初中數學 來源： 題型：

在探究矩形的性質時，小明得到了一個有趣的結論：矩形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．如圖1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC²=AB²+BC²，BD²=AB²+AD²，又CD=AB，AD=BC，所以AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²=2（AB²+BC²）．
小亮對菱形進行了探究，也得到了同樣的結論，于是小亮猜想：任意平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．請你解決下列問題：
（1）如圖2，已知：四邊形ABCD是菱形，求證：AC²+BD²=2（AB²+BC²）；
（2）你認為小亮的猜想是否成立，如果成立，請利用圖3給出證明；如果不成立，請舉反例說明；
（3）如圖4，在△ABC中，BC、AC、AB的長分別為a、b、c，AD是BC邊上的中線．試求AD的長．（結果用a，b，c表示）

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2013•鼓樓區一模）問題提出：
規定：四條邊對應相等，四個角對應相等的兩個四邊形全等．
我們借助學習“三角形全等的判定”獲得的經驗與方法對“全等四邊形的判定”進行探究．
初步思考：
在兩個四邊形中，我們把“一條邊對應相等”或“一個角對應相等”稱為一個條件．滿足4個條件的兩個四邊形不一定全等，如邊長相等的正方形與菱形就不一定全等．類似地，我們容易知道兩個四邊形全等至少需要5個條件．
深入探究：
小莉所在學習小組進行了研究，她們認為5個條件可分為以下四種類型：
Ⅰ一條邊和四個角對應相等；Ⅱ二條邊和三個角對應相等；
Ⅲ三條邊和二個角對應相等；Ⅳ四條邊和一個角對應相等．
（1）小明認為“Ⅰ一條邊和四個角對應相等”的兩個四邊形不一定全等，請你舉例說明．
（2）小紅認為“Ⅳ四條邊和一個角對應相等”的兩個四邊形全等，請你結合下圖進行證明．
已知：如圖，

四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．

．
求證：

四邊形ABCD≌四邊形A₁B₁C₁D₁

．
證明：

（3）小剛認為還可以對“Ⅱ二條邊和三個角對應相等”進一步分類，他以四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁為例，分為以下幾類：
①AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁；
②AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠D=∠D₁；
③AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁，∠D=∠D₁；
④AB=A₁B₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．
其中能判定四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁全等的是

①②③

（填序號），概括可得“全等四邊形的判定方法”，這個判定方法是

有一組鄰邊和三個角對應相等的兩個四邊形全等

．
（4）小亮經過思考認為也可以對“Ⅲ三條邊和二個角對應相等”進一步分類，請你仿照小剛的方法先進行分類，再概括得出一個全等四邊形的判定方法．

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科目：初中數學 來源： 題型：