Question

15．如圖，開口向上的拋物線y=$\frac{1}{a}$（x-a）（x-3a）的頂點(diǎn)為E，與x軸相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線的對稱軸在x軸上方的交點(diǎn)為D．已知圓的半徑是$3\sqrt{5}$，則四邊形AEBD的面積是27+9$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意A（a，0），B（3a，0），C（0，3a），對稱軸x=2a，頂點(diǎn)E（2a，-a），由OC=OB，O′C=O′B，推出點(diǎn)O′在直線y=x上，推出O′（2a，2a），在Rt△AO′F中，根據(jù)AO′²=AF²+O′F²，列出方程求出a，即可解決問題．

解答 解：如圖，設(shè)圓心為O′，DE與AB交于點(diǎn)F．

由題意A（a，0），B（3a，0），C（0，3a），
∴對稱軸x=2a，頂點(diǎn)E（2a，-a），
∵OC=OB，O′C=O′B，
∴點(diǎn)O′在直線y=x上，
∴O′（2a，2a），
在Rt△AO′F中，∵AO′²=AF²+O′F²，
∴45=a²+（2a）²，
∵a＞0，
∴a=3，
∴A（3，0），B（9，0），E（6，-3），D（6，6+3$\sqrt{5}$），
∴四邊形AEBD的面積=$\frac{1}{2}$•AB•DE=$\frac{1}{2}$×6（6+3$\sqrt{5}$+3）=27+9$\sqrt{5}$．
故答案為27+9$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、三角形的外接圓、四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．