Question

14．如圖，已知銳角△ABC中，邊BC長為12，高AD長為8．矩形EFGH的邊GH在BC邊長，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點K．
（1）若EH=3，求EF的長．
（2）設EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數關系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，推出$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，由此即解決問題．
（2）用類似（1）的方法求出EF，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

解答 解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{EF}{12}$=$\frac{5}{8}$，
∴EF=$\frac{15}{2}$．

（2））∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{EF}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$（8-x），
∴S=x•$\frac{3}{2}$（8-x）=-$\frac{3}{2}$x²+12x=-$\frac{3}{2}$（x-4）²+24．
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴S有最大值，最大值為24．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、矩形的性質等知識，解題的關鍵是構建二次函數解決最值問題，屬于中考常考題型．