Question

（2009•黃浦區一模）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一個動點（不含點B、C），作PQ⊥AP交CD于點Q．（圖1）
（1）求BC的長與梯形ABCD的面積；
（2）當PQ=DQ時，求BP的長；（圖2）
（3）設BP=x，CQ=y，試求y關于x的函數解析式，并寫出定義域．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B作BH⊥CD于H，在Rt△BHC中，根據BH（即AD）的長及∠C的正切值，可求得CH的長，進而可根據勾股定理求得BC的長；得到CH的長，由CD=DH+CH=AB+CH即可得到CD的長，根據梯形的面積公式可求出梯形ABCD的面積；
（2）當PQ=DQ時，連接AQ，易證得△ADQ≌△APQ，則AD=AP=4；過P作PE⊥AB于E，不難得出∠C=∠PBE；可根據∠PBE的正切值，用未知數表示出BE、PE的長，進而在Rt△APE中，由勾股定理求得未知數的值，進而可在Rt△BPE中求出BP的長；
（3）過P作PF⊥D于F，由于∠APQ=90°，易證得△AEP∽△PFQ，根據得到的比例線段即可用x表示出QF的長，進而可在Rt△PFC中，根據∠C的正切值用x表示出CF的長；由CQ=QF+CF即可得到y、x的函數關系式．
解答：解：（1）作BH⊥CD，垂足為H，（1分）
則四邊形ABHD為矩形；
∴BH=DA=4，DH=AB=2；（1分）
在Rt△BCH中，，
∴，（1分）；（1分）
又CD=CH+DH=5，
∴S_梯形ABCD=；（1+1=2分）

（2）連接AQ，
由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；（1分）
作PE⊥AB交AB的延長線于點E，（1分）
在Rt△BPE中，，
令BE=3k，PE=4k．
則在Rt△APE中，AP²=AE²+PE²，（1分）
即4²=（2+3k）²+（4k）²，解得：；（1分）
∴；（1分）

（3）作PF⊥CD交CD于點F，
由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，
可得：△AEP∽△PFQ；
∴，即，
化簡得：；（1分）
又，
∴；（1分）
定義域為（0＜x＜5）．（1分）
點評：此題考查了梯形的性質、相似三角形與全等三角形的判定和性質以及解直角三角形等知識的綜合應用能力．