Question

5．如圖，平行四邊形ABCD中，過B點作直線交AC、AD于O、E，交CD的延長線于F點，
（1）求證：OB²=OE•OF
（2）若AB=4，BC=6，DF=2，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD得到△AOB∽△COE，于是得到OE：OB=OC：OA，根據AD∥BC于是得到△AOF∽△COB，推出OB：OF=OC：OA，進而得出OB²=OF•OE；
（2）由平行四邊形的性質：對邊平行易證△ABE∽△DFE，再由相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可求出AE的長．

解答 解：
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△AOB∽△COE．
∴OE：OB=OC：OA；
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB．
∴OB：OF=OC：OA．
∴OB：OF=OE：OB，
即OB²=OF•OE；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD=BC=6，
∴△ABE∽△DFE，
∴DF：AB=DE：AE，
∵AB=4，DF=2，
∴2：4=（6-AE）：AE，
解得：AE=4．

點評 此題考查了相似三角形的判定和性質，綜合性較強，有一定難度，證線段的乘積相等，通常轉化為比例式形式，再證明所在的三角形相似，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．