Question

（12分）（1）問題背景：如圖1，中，，，的平分線交直線于，過點作，交直線于．請探究線段與的數量關系．（事實上，我們可以延長與直線相交，通過三角形的全等等知識解決問題．）

結論：線段與的數量關系是 ______ （請直接寫出結論）；

（2）類比探索：在（1）中，如果把改為的外角的平分線，其他條件均不變（如圖2），（1）中的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

（3）拓展延伸：在（2）中，如果，且（），其他條件均不變（如圖3），請你直接寫出與的數量關系．結論： _________ （用含的代數式表示）．

Answer 1

（1）；（2）仍然成立，證明過程略；（3）

【解析】

試題分析：（1）如圖，分別延長、，交于.根據角平分線和垂直關系，由等腰三角形三線合一可得 .（也可通過證明三角形全等）又根據、兩個直角以及，可證得≌，進而有，所以；（2）思路同（1），仍然通過兩次證明三角形全等得到線段關系，第一次全等；（3）思路依然同（1），延長兩線段交于一點后先證明≌，得到，再證明∽，且

，所以有.

試題解析：（1）；

（2）仍然成立，證明過程如下：分別延長、交于，平分

平分

≌

；

（3）

考點：（1）平面幾何添加輔助線；（2）三角形全等的判定和性質；（3）三角形相似的判定和性質.