Question

已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°．P、Q分別為射線BC和線段CD上的動點，且CQ=2BP．
（1）如圖1，當點P為BC的中點時，求證：△CPQ∽△DAQ；
（2）如圖2，當點P在BC的延長線上時，設BP=x，△APQ的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）以點A為圓心AQ為半徑作⊙A，以點B為圓心BP為半徑作⊙B，當⊙A與⊙B相切時，求BP的長．

Answer 1

分析：（1）作出AM⊥CD，BN⊥CD，再利用已知得出AM=BN，AB=MN=4，DM=CN，進而求出

CP

DA

=

CQ

DQ

；又∵∠QCP=∠D=60°，即可得出答案；
（2）利用AB∥DC得出

PC

PB

=

CE

AB

，表示出CE的長，進而利用S_△APQ=S_△PQE+S_△AQE，得出y關于x的函數解析式；
（3）利用兩圓外切的性質得出AQ+BP=AB，求出x的值，再利用當⊙A與⊙B內切時，|AQ-BP|=AB，求出即可．

解答：解：（1）過點A作AM⊥CD，M為垂足，過點B作BN⊥CD，N為垂足
根據題意得：AM=BN，
AB=MN=4，DM=CN，
在直角三角形△CBN中，
∵∠DCB=60°，BC=2，CN=1，BN=

3

，
∴DM=1，AM=

3

，
∴CD=6（2分），
∵點P為BC的中點，且CQ=2BP，
∴CP=1，CQ=2，DA=2，DQ=4，
∴

CP

DA

=

CQ

DQ

又∵∠QCP=∠D=60°，
∴△CPQ∽△DAQ（2分）；

（2）∵AB∥DC
∴

PC

PB

=

CE

AB

，
∴

x-2

x

=

CE

4

∴CE=

4x-8

x

，
∴QE=2x-

4x-8

x

=

2x2-4x+8

x

（2分），
如圖2，過點P作PH⊥CD交DC的延長線于H，
在直角三角形△CPH中，
∴∠PCH=60°，PC=x-2，PH=

3

2

(x-2)，
∵S_△APQ=S_△PQE+S_△AQE
∴y=

1

2

×

3

2

(x-2)×

2x2-4x+8

x

+

1

2

×

3

×

2x2-4x+8

x

，
∴y=

3

2

(x2-2x+4)（2分）（2＜x≤3）（1分）；


（3）如備用圖，過點A作AM⊥CD于M，
∵DM=1，DQ=6-2x，
∴QM=|5-2x|
在直角三角形△AQM中，AQ=

(5-2x)2+3

（1分），
當⊙A與⊙B外切時，AQ+BP=AB，

(5-2x)2+3

+x=4，
解得：x₁=x₂=2（2分），
當⊙A與⊙B內切時，|AQ-BP|=AB，

(5-2x)2+3

-x=4，
解得：x1=

14-4 10

3

，x2=

14+4 10

3

（舍去）（2分）
∴當BP=2時，⊙A與⊙B外切；
當BP=

14-4 10

3

時，⊙A與⊙B內切．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及相切兩圓的性質和平行線分線段成比例定理等知識，此題綜合性較強，熟練應用相切兩圓的性質是解決問題的關鍵．