Question

9、如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC和BD相交于點O，E是BC邊上一個動點（E點不與B、C兩點重合），EF∥BD交AC于點F，EG∥AC交BD于點G．
（1）求證：四邊形EFOG的周長等于2 OB；
（2）請你將上述題目的條件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結論“四邊形EFOG的周長等于2 OB”仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證、不必證明．

Answer 1

分析：（1）很顯然四邊形OFEG是個平行四邊形，那么OF=GE，OG=EF，我們可通過全等三角形ABC和DBC全等得出∠ACB=∠DBC，然后根據GE∥AC，可得出三角形BGE是等腰三角形，那么GE=GB，因此OB=OG+GE而OG=EF，GE=OF，由此可得出四邊形EFOG的周長是2OB．
（2）由（1）的解題思路我們可看出，要得到（1）的結論，必須滿足的條件應該是三角形ABC和DBC全等，那么AB和CD邊必須相等，四邊形的對角線必須相等，因此我們可將等腰梯形換成正方形或矩形，就能得出和（1）一樣的結論了．

解答：證明：（1）如圖1
∵四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB．
又∵BC=CB，AB=DC，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠1=∠2．
又∵GE∥AC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴EG=BG．
∵EG∥OC，EF∥OB，
∴四邊形EGOF是平行四邊形．
∴EG=OF，EF=OG．
∴四邊形EGOF的周長=2（OG+GE）=2（OG+GB）=2OB

（2）方法1，如圖2，已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E為BC上一個動點，（點E不與B、C兩點重合）EF∥BD，交AC于點F，EG∥AC交BD于點G
求證：四邊形EFOG的周長等于2OB．
方法2：如圖3，已知正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E為BC上一個動點，（點E不與B、C兩點重合）EF∥BD，交AC于點F，EG∥AC交BD于點G
求證：四邊形EFOG的周長等于2OB．

點評：本題主要考查了等腰梯形的性質，平行四邊形的性質以及全等三角形的判定和應用等知識點，根據全等三角形來得出角相等是解題的關鍵．