Question

【題目】如圖，在長方形中，=4， =8，點是邊上一點，且，點是邊上一動點，連接，，則下列結論：① ；②當時，平分 ； ③△周長的最小值為15 ；④當時，平分.其中正確的個數(shù)有（ ）

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)，可設BE=x，則AE=8-x，利用Rt△ABE中勾股定理即可求出BE；當時，四邊形APCE為菱形，故可得到平分 ；作C點關于直線AD的對稱點C’，根據(jù)對稱性即可求出△周長的最小值；過點A作AH⊥PE，PG⊥BC，根據(jù)求得DP、GC的長，再得到EG,故可求出BP的長，根據(jù)等面積法得到AH的長，由AH=AB即可證明平分.

∵，設BE=x，則AE=8-x，

在Rt△ABE中AE2=AB2+BE2,

即（8-x）2=42+x2,

解得x=3，故① 正確；

當時，∵EC=5

∴AP∥EC,AP=CE，

∴四邊形APCE為平行四邊形。

又AE=EC，

∴四邊形APCE為菱形，

故可得到平分 ，②正確；

作C點關于直線AD的對稱點C’，則PC=PC’

∴△周長的最小值為EC+EC’=5+，故③錯誤；

過點A作AH⊥PE，PG⊥BC，

∴AB=PG=4

∵

∴PD==GC

∴EG=5-=

故EP==

又S△AEP=AP×PG=EP×AH

即××4=××AH

∴AH=4=AB，

∴平分，④正確；

故選B.