Question

【題目】如圖1，點為正的邊上一點（不與點重合），點分別在邊上，且.

（1）求證：；

（2）設，的面積為，的面積為，求（用含的式子表示）；

（3）如圖2，若點為邊的中點，求證： .

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）根據兩角對應相等的兩個三角形相似即可判斷；
（2）如圖2中，分別過E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，S1=BDEG=BDEG=aBEsin60°=aBE，S2=CDFH=bCF，可得S1S2=abBECF，由（1）得△BDE∽△CFD，，即BEFC=BDCD=ab，即可推出S1S2=a2b2；
（3）想辦法證明△DFE∽△CFD，推出，即DF2=EFFC；

（1）證明：如圖1中，

在△BDE中，∠BDE+∠DEB+∠B=180°，又∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠BDE+∠DEB+∠B=∠BDE+∠EDF+∠FDC，
∵∠EDF=∠B，
∴∠DEB=∠FDC，
又∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD．

（2）如圖2中，分別過E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，

S1=BDEG=BDEG=aBEsin60°=aBE，S2=CDFH=bCF，
∴S1S2=abBECF
由（1）得△BDE∽△CFD，
∴，即BEFC=BDCD=ab，
∴S1S2=a2b2．

（3）由（1）得△BDE∽△CFD，
∴，
又BD=CD，
∴，
又∠EDF=∠C=60°，
∴△DFE∽△CFD，
∴，即DF2=EFFC．