Question

如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S_{四邊形ABDE}=

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S_△ABP，其中正確的是（　　）

• A、①③
• B、①②④
• C、①②③
• D、②③

Answer 1

分析：根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐條分析判斷．

解答：解：在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=

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（∠A+∠B）=45°，
∴∠APB=135°，故①正確．

∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，
BP=BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正確．

在△APH和△FPD中，
∵∠APH=∠FPD=90°，
∠PAH=∠BAP=∠BFP，
PA=PF，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正確．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S_{四邊形ABDE}=S_△ABP+S_△BDP+S_△APH-S_△EOH+S_△DOP=S_△ABP+S_△ABP-S_△EOH+S_△DOP=2S_△ABP-S_△EOH+S_△DOP≠

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S△ABP．
故選C．

點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．