Question

如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點P，分別交AC和BC的延長線于E，D．過P作PF⊥AD交AC的延長線于點H，交BC的延長線于點F，連接AF交DH于點G．則下列結論：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD-AH=AB；④DG=AP+GH．其中正確的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①②③④

Answer 1

分析：①根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和與角平分線的定義表示出∠CAP，再根據角平分線的定義∠ABP=

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∠ABC，然后利用三角形的內角和定理整理即可得解；
②③先根據直角的關系求出∠AHP=∠FDP，然后利用角角邊證明△AHP與△FDP全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=AH，對應角相等可得∠PFD=∠HAP，然后利用平角的關系求出∠BAP=∠BFP，再利用角角邊證明△ABP與△FBP全等，然后根據全等三角形對應邊相等得到AB=BF，從而得解；
④根據PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根據等角對等邊可得DG=AG，再根據等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜邊大于直角邊，AF＞AP，從而得出本小題錯誤．

解答：解：①∵∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線，
∴∠ABP=

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∠ABC，
∠CAP=

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（90°+∠ABC）=45°+

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∠ABC，
在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，
=180°-（45°+

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∠ABC+90°-∠ABC）-

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2

∠ABC，
=180°-45°-

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2

∠ABC-90°+∠ABC-

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2

∠ABC，
=45°，故本小題正確；
②③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，
∴∠AHP=∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
在△AHP與△FDP中，

∠AHP=∠FDP ∠APH=∠FPD=90° AP=PF

，
∴△AHP≌△FDP（AAS），
∴DF=AH，
∵AD為∠BAC的外角平分線，∠PFD=∠HAP，
∴∠PAE+∠BAP=180°，
又∵∠PFD+∠BFP=180°，
∴∠PAE=∠PFD，
∵∠ABC的角平分線，
∴∠ABP=∠FBP，
在△ABP與△FBP中，

∠PAE=∠PFD ∠ABP=∠FBP PB=PB

，
∴△ABP≌△FBP（AAS），
∴AB=BF，AP=PF故②小題正確；
∵BD=DF+BF，
∴BD=AH+AB，
∴BD-AH=AB，故③小題正確；
④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，
∴AG⊥DH，
∵AP=PF，PF⊥AD，
∴∠PAF=45°，
∴∠ADG=∠DAG=45°，
∴DG=AG，
∵∠PAF=45°，AG⊥DH，
∴△ADG與△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG=AG，GH=GF，
∴DG=GH+AF，
∵AF＞AP，
∴DG=AP+GH不成立，故本小題錯誤，
綜上所述①②③正確．
故選A．

點評：本題考查了直角三角形的性質，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定與性質，等角對等邊，等邊對等角的性質，綜合性較強，難度較大，做題時要分清角的關系與邊的關系．