Question

如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。

求證：（1）AD=AG，

（2）AD與AG的位置關(guān)系如何。

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）位置關(guān)系是AD⊥GA.

【解析】

試題分析：（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定義得到一對角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形BHF與三角形CHE相似，由相似三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，再由AB=CG，BD=AC，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACG全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AD=AG，

（2）利用全等得出∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代換可得出∠AED=∠GAD=90°，即AG與AD垂直．

試題解析：（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠HFB=∠HEC=90°，又∵∠BHF=∠CHE，

∴∠ABD=∠ACG，

在△ABD和△GCA中

，

∴△ABD≌△GCA（SAS），

∴AD=GA（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；

（2）位置關(guān)系是AD⊥GA，

理由為：∵△ABD≌△GCA，

∴∠ADB=∠GAC，

又∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，

∴∠AED=∠GAD=90°，

∴AD⊥GA．

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．