Question

19．如圖，已知等邊△ABC的邊長為2，E，F，G分別在邊AB，BC，CA上，且△EFG也是等邊三角形．
（1）求證：AG=BE；
（2）設AE=x，求x的值，使△EFG的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠FEG=60°，進而得出∠BFE=∠AEG，即可判斷出，△BEF≌△AGE（AAS），結論得證；
（2）借助（1）的結論判斷出S_△BEF=S_△CFG=S_△AGE，再用x表示出△AEG的面積，最后用面積差建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC、△EFG都是等邊三角形，
∴EG=EF，∠A=∠B=∠FEG=60°，
在△BEF中，∠BEF+∠BFE=180°-∠B=120°，
∵∠BEF+∠AEG=180°-∠FEG=120°，
∴∠BFE=∠AEG，
在△BEF和△AGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠A=60°}\\{∠BFE=∠AEG}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△AGE（AAS），
∴AG=BE，
（2）如圖，同（1）的方法得出，△BEF≌△CFG≌△AGE，
∴S_△BEF=S_△CFG=S_△AGE，CG=AE=x，
∴AG=AC-x=2-x
過點E作ED⊥AC，在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=x，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵△ABC是等邊三角形，
∴S_△EFG=S_△ABC-3S_△AEG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²-3×$\frac{1}{2}$×（2-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵△EFG的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴x=1．

點評 此題是全等三角形的判定和性質，主要考查了等邊三角形的性質，三角形的面積公式，解本題的關鍵是判斷出∠BFE=∠AEG，也是解本題的難點，易錯點是三角形EFG的面積式子的化簡，用方程的思想解決問題是解這類問題常用的方法．