Question

已知△ABC中，∠BAC=60゜，D是線段BC上一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E、F．
（1）如圖1，若AD=4，求EF的長；
（2）如圖2，若∠ABC=45゜，AB=2

2

，求EF的最小值．

Answer 1

（1）作直徑EP，連結PF，如圖1，
∵EP為⊙O的直徑，
∴∠EFP=90°，
∵∠P=∠EAF=60°，
∴∠PEF=30°，
∴PF=

1

2

PE，
EF=

3

PF=

3

2

EP，
∵EP=AD=4，
∴EF=

3

2

×4=2

3

；

（2）∵EF=

3

2

EP=

3

2

AD，
∴當AD最小時，EF最小，
當AD⊥BC時，AD最小，如圖2，
∵∠ABC=45゜，AB=2

2

，
∴AD=

2

2

AB=2，
∴EF=

3

2

×2=

3

，
即EF的最小值為

3

．