Question

16．已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于點(diǎn)O．
（1）如圖1，若∠BAC=60°，求證：AC=AE+CD；
（2）如圖2，若∠BAC≠60°，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，在線段AC上截取AF=AE，連接OF．只要證明△AOE≌△AOF，△COF≌△COD，即可解決問(wèn)題．
（2）結(jié)論不成立．用反證法證明即可．

解答 解：（1）如圖1中，在線段AC上截取AF=AE，連接OF．

∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=120°，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ACB=60°，
∴∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠AOE=∠COD=60°，
在△AOE和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{∠OAE=∠OAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△AOF，
∴∠AOE=∠AOF=60°，
∴∠COF=∠COD=60°，
在△COF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COF=∠COD}\\{OC=OC}\\{∠OCF=∠OCD}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△COD，
∴CF=CD，
∴AC=AF+CF=AE+CD．

（2）如圖2中，當(dāng)∠ABC≠60°時(shí)，結(jié)論不成立．

由（1）可知，假設(shè)結(jié)論成立．則有∠AOF=∠COF=∠COD=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠OAC+∠OCA=60°，
∵∠BAC=2∠OAC，∠ACB=2∠OCA，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∴∠B=60°，這個(gè)與已知矛盾，
∴結(jié)論不成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、反證法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用反證法證明有關(guān)題目，屬于中考常考題型．