Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC．

(1)試猜想AE與GC有怎樣的關系(直接寫出結論即可)；

(2)將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和CG．你認為(1)中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

(3)在(2)中，若E是BC的中點，且BC＝2，則C，F兩點間的距離為　 　．

Answer 1

【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，證明見解析； (3) ．

【解析】

（1）觀察圖形，AE、CG的位置關系可能是垂直，下面著手證明．由于四邊形ABCD、DEFG都是正方形，易證得△ADE≌△CDG，則∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．

（2）題（1）的結論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可證△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由圖知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得證．

（3）如圖3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，則四邊形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想辦法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解決問題．

(1)AE＝CG，AE⊥GC；

證明：延長GC交AE于點H，

在正方形ABCD與正方形DEFG中，

AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，

DE＝DG，

∴△ADE≌△CDG(SAS)，

∴AE，CG，∠1＝∠2

∵∠2+∠3＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，

∴AE⊥GC．

(2)答：成立；

證明：延長AE和GC相交于點H，

在正方形ABCD和正方形DEFG中，

AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，

∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；

∴△ADE≌△CDG(SAS)，

∴AE＝CG，∠5＝∠4；

又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，

∴∠6＝∠7，

又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，

∴∠CEH+∠7＝90°，

∴∠EHC＝90°，

∴AE⊥GC．

(3)如圖3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，則四邊形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．

∵BE＝CE＝1，AB＝CD＝2，

∴AE＝DE＝CG═DG＝FG＝，

∵DE＝DG，∠DCE＝∠GND，∠EDC＝∠DGN，

∴△DCE≌△GND(AAS)，

∴GCD＝2，

∵S△DCG＝CDNG＝DGCM，

∴2×2＝CM，

∴CM＝GH＝，

∴MG＝CH＝＝，

∴FH＝FG﹣FG＝，

∴CF＝＝＝．

故答案為：．