Question

【題目】如圖1，P為正方形ABCD的邊BC上一動點（P與B、C不重合），連接AP，過點B作BQ⊥AP交CD于點Q，將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC'，延長QC′交BA的延長線于點M．

（1）試探究AP與BQ的數量關系，并證明你的結論；

（2）求證：MQ＝MB；

（3）若AB＝3，BP＝2PC，求QM的長．

Answer 1

【答案】（1）AP=BQ，證明詳見解析；（2）詳見解析；（3）QM的長為．

【解析】

（1）要證AP＝BQ，只需證△PBA≌△QCB即可．

（2）易得DC∥AB，從而有∠CQB＝∠QBA．由折疊可得∠C′QB＝∠CQB，即可得到∠QBA＝∠C′QB，即可得到MQ＝MB．

（3）過點Q作QH⊥AB于H，如圖．易得QH＝BC＝AB＝3，BP＝2，PC＝1，然后運用勾股定理可求得AP（即BQ）＝，BH＝2．設QM＝x，則有MB＝x，MH＝x﹣2．在Rt△MHQ中運用勾股定理就可解決問題．

（1）解：結論：AP＝BQ．

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90，

∴∠ABQ+∠CBQ＝90．

∵BQ⊥AP，

∴∠PAB+∠QBA＝90，

∴∠PAB＝∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP＝BQ．

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠CQB＝∠QBA．

由折疊可得∠C′QB＝∠CQB，

∴∠QBA＝∠C′QB，

∴MQ＝MB．

（3）解：過點Q作QH⊥AB于H，如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴QH＝BC＝AB＝3．

∵BP＝2PC，

∴BP＝2，PC＝1，

∴BQ＝AP＝＝＝，

∴BH＝＝＝2．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠CQB＝∠QBA，

由折疊可得∠C′QB＝∠CQB，

∴∠QBA＝∠C′QB，

∴MQ＝MB．

設QM＝x，則有MB＝x，MH＝x﹣2．

在Rt△MHQ中，

根據勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+32，

解得x＝．

∴QM的長為．