Question

如圖，?ABCD中，點E是CD延長線上一點，BE交AD于點F，DE=

1

2

CD．
（1）求證：△ABF∽△CEB
（2）若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積．
（3）若G、H分別為BF、AB的中點，AG、FH交于點O，求

OG

OA

．

Answer 1

分析：（1）由平行四邊形的性質即可推出∠ABF=∠E，∠BAF=∠C，即可求出結論；
（2）根據平行四邊形的性質很容易即可推出相互平行的邊和相等的角，即可推出△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，由DE=

1

2

CD，求出

ED

EC

=

1

3

，

ED

AB

=

1

2

，然后即可推出相似三角形的面積之比，根據△DEF的面積為2，繼而求出S_△BFA，S_△EBC，再根據圖形求出S_梯形FDBC=16，最后計算出S_{平行四邊形ABCD}=16+8=24；
（3）根據題意可知GH為△ABF的中位線，推出GH∥AF，即可推出

OG

OA

=

GH

AF

=

1

2

．

解答：（1）證明：∵?ABCD，
∴AB∥CE，AD∥BC，
∴∠ABF=∠E，
又∵ABCD是平行四邊形，
∴∠BAF=∠C，
△ABF∽△CEB，

（2）解：∵∠ABF=∠E，∠AFB=∠EFD，
∴△ABF∽△DEF，
∵AD∥BC，
∴△CEB∽△DEF，
∵DE=

1

2

CD，
∴

ED

EC

=

1

3

，

ED

AB

=

1

2

，
∴

S△EFD

S△BFA

=(

ED

AB

)2=

1

4

，

S△EFD

S△EBC

=(

ED

EC

)2=

1

9

，
∵△DEF的面積為2，
∴S_△BFA=8，S_△EBC=18，
∴S_梯形FDBC=18-2=16，
∴S_{平行四邊形ABCD}=16+8=24，

（3）解：∵G、H為中點，
∴GH∥AF，2GH=AF，
∴OG：OA=HG：AF=1：2．

點評：本題主要考查平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，三角形中位線的性質等知識點，關鍵在于根據題意求證相關的三角形全等，運用數形結合的思想推出相關圖形之間的關系．