Question

7．利用圖形整體面積等于部分面積之和可以證明勾股定理．

①如圖（1）所示可以證明勾股定理，因為大正方形面積表示為（a+b）²，又可表示為c²+4×$\frac{1}{2}$ab，所以（a+b）²=c²+4×$\frac{1}{2}$ab，所以a²+b²+2ab=c²+2ab，所以a²+b²=c²，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
②美國第20屆總統伽菲爾德利用圖（2）證明了勾股定理，請你用①的方法證明勾股定理；
③如圖（3）請你用①的方法證明勾股定理；
④如圖（4）請你用①的方法證明勾股定理．

Answer 1

分析 ②梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關系式，化簡即可得證；
③連結DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b-a根據S_{四邊形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC，S_{四邊形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB列出關系式，化簡即可得證；
④根據題意，我們可在圖中找等量關系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式．．

解答 解：②梯形的面積為$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$a²+ab+$\frac{1}{2}$b²，
也可利用表示為$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab，
∴$\frac{1}{2}$a²+ab+$\frac{1}{2}$b²=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab，即a²+b²=c²
②連結DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b-a
∵S_{四邊形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab．
又∵S_{四邊形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），
∴a²+b²=c²；
④根據題意，中間小正方形的面積c²=（a+b）²-4×$\frac{1}{2}$×ab=a²+b²；
即在直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和．

點評 此題考查了勾股定理的證明，勾股定理，多項式的乘法的運用以及由多項式畫圖形的創新題型，此類證明要轉化成同一個圖形的兩種表示方法，從而轉化成方程達到證明的結果．