Question

1．如圖，點A是雙曲線y=$\frac{4}{x}$（x＜0）上一點，AO的延長線交雙曲線y=$\frac{{k}^{2}}{x}$（x＞0，k＞0）于點B，BC⊥x軸，若S_△ABC=7.5，則k的值為3．

Answer 1

分析 過點A作AD⊥y軸于點D，則△AOD∽△OBC，由相似三角形的性質可得出$\frac{AD}{OC}$=$\frac{OD}{BC}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}}$，再根據反比例函數系數k的幾何意義即可得出S_AOD=$\frac{1}{2}$×4=2、S_OBC=$\frac{1}{2}$k²，結合三角形的面積公式以及S_△ABC=7.5即可得出關于|k|的一元二次方程，解之即可得出|k|的值，結合k＞0即可得出結論．

解答 解：過點A作AD⊥y軸于點D，如圖所示．
∵AD⊥y軸，BC⊥x軸，
∴AD∥OC，∠ADO=∠OCB=90°，
∴∠OAD=∠BOC，
∴△AOD∽△OBC，
∴$\frac{AD}{OC}$=$\frac{OD}{BC}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}}$．
∵S_AOD=$\frac{1}{2}$×4=2，S_OBC=$\frac{1}{2}$k²，
∴$\frac{AD}{OC}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}}$=$\frac{2}{|k|}$，
∴S_AOC=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}$$\frac{|k|}{2}$AD•OD=|k|．
∵S_△ABC=S_OBC+S_OBC=$\frac{1}{2}$k²+|k|=7.5，
解得：|k|=3或|k|=-5（舍去），
∵k＞0，
∴k=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了反比例函數系數k的幾何意義、相似三角形的判定與性質以及解一元二次方程，根據三角形的面積公式找出關于|k|的一元二次方程是解題的關鍵．