Question

【題目】已知：t1，t2是方程t2+2t﹣24＝0的兩個實數根，且t1＜t2，拋物線y＝x2+bx+c的圖象經過點A（t1，0），B（0，t2）．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）設點P（x，y）是拋物線上一動點，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OPAQ的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當平行四邊形OPAQ的面積為24時，是否存在這樣的點P，使OPAQ為正方形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+4；（2）S＝﹣4（x+）2+25（﹣6＜x＜﹣1）；（3）不存在這樣的點P，使四邊形OPAQ為正方形，理由見解析

【解析】

（1）解方程t2+2t﹣24＝0，可得A(-6,0)，B(0,4)，再利用待定系數法求二次函數的解析式；

（2）設點P（x，y），利用x，y表示四邊形的邊長求得面積S＝﹣+25，利用面積是正數的性質求出x的取值范圍是﹣6＜x＜﹣1；

（3）把S＝24代入解析式S＝﹣+25中求得y的值，從而得到點P的坐標，根據實際意義進行值的取舍，討論可知不存在這樣的點P，使四邊形OPAQ為正方形．

解：（1）t2+2t﹣24＝0，（t+6）（t﹣4）＝0，t1＝﹣6，t2＝4

∵t1＜t2，

∴A（﹣6，0），B（0，4）

∵拋物線y＝x2+bx+c經過A，B兩點．

∴，

解得，

∴y＝x2+x+4．

（2）∵點P（x，y）在拋物線上，位于第三象限，

∴y＜0，即﹣y＞0．

又∵S＝2S△APO＝2××|OA||y|＝|OA||y|＝6|y|，

∴S＝﹣6y

＝﹣6（x2+x+4）

＝﹣4（x2+7x+6）

＝﹣4（x+）2+25

令y＝0時，x2+x+4＝0，

解得x1＝﹣6，x2＝﹣1．

∵拋物線與x軸的交點坐標為（﹣6，0），（﹣1，0），

∴x的取值范圍為﹣6＜x＜﹣1．

（3）當S＝24時，得24＝﹣4（x+）2+25，

解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4

代入解析式得：y1＝﹣4，y2＝﹣4．

∴點P的坐標為（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣4）

當點P為（﹣3，﹣4）時，滿足PO＝PA，此時，平行四邊形OPAQ是菱形．

當點P為（﹣4，﹣4）時，不滿足PO＝PA，此時，平行四邊形OPAQ不是菱形．

而要使平行四邊形OPAQ為正方形，那么，一定有OA⊥PQ，AO＝PQ，

此時，點P的坐標為（﹣3，﹣3），而（﹣3，﹣3）不在拋物線y＝x2+x+4上，

故不存在這樣的點P，使四邊形OPAQ為正方形．