Question

（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE．

（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意銳角或鈍角．請問結論“DE=BD+CE”是否成立?如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）如圖3，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．

 

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）成立，理由見試題解析；（3）等邊三角形．

【解析】

試題分析：（1）由∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°就可以求出∠BAD=∠ACE，進而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD=AE，DA=CE而得出結論；

（2）由等邊三角形的性質就可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，進而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，而得出∠DFE=60°，就有△DEF為等邊三角形．

試題解析：（1）DE=BD+CE成立．

理由：∵∠BDA=∠BAC=120°，

∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△BAD和△ACE中，

∵∠BDA=∠AEC，∠DBA=∠CAE，BA=AC，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）△DEF為等邊三角形，理由：

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，

∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，

∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，

∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，

∴∠DBA=∠CAE，

在△BAD和△ACE中，

∵∠BDA=∠AEC，∠DBA=∠CAE，BA=AC，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．

∵∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF=∠FAE．

在△BDF和△AEF中，

∵FB=FA，∠DBF=∠FAE，BD=AE，

∴△DBF≌△EAF（SAS）

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF為等邊三角形．

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．等邊三角形的判定與性質．