Question

如圖，在△ABC中，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，交AB于點G，且D是BC中點，DE⊥AB，垂足為E，交AC的延長線于點F．

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）CF=5，cos∠A =，求BE的長．[來~源#：*中&教網%]

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）連結OD．先證明OD是△ABC的中位線，根據中位線的性質得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根據切線的判定即可得出直線EF是⊙O的切線；

（2）先由OD∥AB，得出∠COD=∠A，再解Rt△DOF，根據余弦函數的定義得到cos∠FOD=，設⊙O的半徑為x，解方程，求出，解Rt△AEF，根據余弦函數的定義得到cos∠A=，求出，然后由BE=AB﹣AE即可求解．

試題解析：（1）連接CD，∵AO=CO，CD=BD，∴OD //AB，∴∠ODE=∠DEB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥BC，∴直線EF是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為x，則OC=OA=OD，∵OD //AB，∴∠ODC=∠B，∠FOD=∠A，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B =∠OCD，∴AC=BC=2x，在Rt△ODF中，∠ODF=90°，∴cos∠FOD=cos∠A=，∴，∴，在Rt△AEF中，∠FEA=90°，∴cos∠A =，∴，∴，∴BE=2．

考點：1．切線的判定；2．解直角三角形．