Question

【題目】規定：經過三角形的一個頂點且將三角形的周長分成相等的兩部分的直線叫做該角形的“等周線”，“等周線”被這個三角形截得的線段叫做該三角形的“等周徑”．例如等腰三角形底邊上的中線即為它的“等周徑”Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若直線為△ABC的“等周線”，則△ABC的所有“等周徑”長為________．

Answer 1

【答案】或2或3．

【解析】

分三種情況：①當“等周線”經過點C時，直線交AB于點E；②當“等周線”經過點A時，直線交BC于點E，③當“等周線”經過點B時，直線交AC于點E．畫圖并運用勾股定理計算．

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5

①如圖，當“等周線”經過點C時，直線交AB于點E，設BE＝，則AE＝5-，作CH⊥AB于H．

由題意得：3+＝4+5-

解得：＝3

∵CH＝

∴BH＝

∴EH＝3＝

在Rt△ECH中，CE＝

∴“等周徑”長為；

②如圖，當“等周線”經過點A時，直線交BC于點E，設BE＝，則CE＝3-

由題意得：4+3-＝5+

解得：＝1

∴EC＝2

在Rt△ACE中，AE

∴“等周徑”長為；

③如圖，當“等周線”經過點B時，直線交AC于點E，設AE＝，則CE＝4-

由題意得：3+4-＝5+

解得：＝1

∴CE＝3

在Rt△BCE中，BE＝＝

∴“等周徑”長為．

綜上所述，滿足條件的“等周徑”長為或或．

故答案為：或．