Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在y軸上，點B是第一象限的點，且AB⊥y軸，且AB＝OA，點C是線段OA上任意一點，連接BC，作BD⊥BC，交x軸于點D．

（1）依題意補全下圖；

（2）用等式表示線段OA，AC與OD之間的數量關系，并證明；

（3）連接CD，作∠CBD的平分線，交CD邊于點H，連接AH，求∠BAH的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OA+AC＝OD，見解析；（3）45°

【解析】

（1）根據題意畫出圖形即可；

（2）過B作BE⊥x軸于E，則四邊形AOEB是矩形，根據矩形的想知道的BE＝AO，∠ABE＝90°，等量代換得到AB＝BE推出△ABC≌△EBD，根據全等三角形的性質得到AC＝DE，等量代換即可得到結論；

（3）根據全等三角形的性質得到BC＝BD，推出△BCD是等腰直角三角形，于是得到∠BCD＝45°，根據等腰三角形的性質得到∠BHC＝90°，過H作HN⊥OA，HM⊥AB，證明△CNH≌△BHM，可得出HN＝HM，則AH平分∠CAB，可得到結論．

解：（1）如圖1所示，

（2）OA+AC＝OD，

如圖1，過B作BE⊥x軸于E，

則四邊形AOEB是矩形，

∴BE＝AO，∠ABE＝90°，

∵AB＝AO，

∴AB＝BE，

∵BD⊥BC，

∴∠CBD＝90°，

∴∠ABC＝∠DBE，

在△ABC與△BDE中，

，

∴△ABC≌△EBD（ASA），

∴AC＝DE，

∵OE＝AB＝OA，

∴AO+AC＝OD；

（3）如圖2，由（1）知：△ABC≌△EBD，

∴BC＝BD，

∵BD⊥BC，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴∠BCD＝45°，

∵BH平分∠CBD，

∴∠BHC＝90°，

∵∠BAO＝90°，

過H作HN⊥OA，HM⊥AB，

∴四邊形ANMH是矩形，

∴∠NHM＝90°，

∴∠NHC＝∠MHB，

∴△CNH≌△BHM（AAS），

∴HN＝HM，

∴AH平分∠CAB，

∴∠BAH＝45°．