Question

【題目】已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，E為邊AC任意一點(diǎn)，連接BE．

（1）如圖1，若∠ABE=15°，O為BE中點(diǎn)，連接AO，且AO=1，求BC的長(zhǎng)；

（2）如圖2，F(xiàn)也為AC上一點(diǎn)，且滿足AE=CF，過(guò)A作AD⊥BE交BE于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)D，連接DF交BE于點(diǎn)G，連接AG．若AG平分∠CAD，求證：AH=AC．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）如圖1中，在AB上取一點(diǎn)M，使得BM=ME，連接ME．，設(shè)AE=x，則ME=BM=2x，AM=x，根據(jù)AB+AE=BE，可得方程(2x+x)+x=2，解方程即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，作CP⊥AC，交AD的延長(zhǎng)線于P，GM⊥AC于M．首先證明AM=MC，再證明AH=AM即可解決問(wèn)題．

本題解析：（1）如圖1中，在AB上取一點(diǎn)M，使得BM=ME，連接ME．

在Rt△ABE中，∵OB=OE，

∴BE=2OA=2，

∵MB=ME，

∴∠MBE=∠MEB=15°，

∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，設(shè)AE=x，則ME=BM=2x，AM=x，

∵AB2+AE2=BE2，

∴（2x+x）2+x2=22，

∴x=（負(fù)根已經(jīng)舍棄），

∴AB=AC=（2+），

∴BC=AB=+1．

（2）證明：如圖2中，作CP⊥AC，交AD的延長(zhǎng)線于P，GM⊥AC于M．

∵BE⊥AP，

∴∠AHB=90°，

∴∠ABH+∠BAH=90°，

∵∠BAH+∠PAC=90°，

∴∠ABE=∠PAC，

在△ABE和△CAP中，

，

∴△ABE≌△CAP，

∴AE=CP=CF，∠AEB=∠P，

在△DCF和△DCP中，

，

∴△DCF≌△DCP，

∴∠DFC=∠P，

∴∠GFE=∠GEF，

∴GE=GF，∵GM⊥EF，

∴FM=ME，

∵AE=CF，

∴AF=CE，

∴AM=CM，

在△GAH和△GAM中，

，

∴△AGH≌△AGM，

∴AH=AM=CM=AC．