Question

【題目】如圖，E是正方形ABCD的對角線BD上一點，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G．求證：AE=FG．

Answer 1

【答案】證明見解析．

【解析】

試題分析：根據題意我們不難得出四邊形GEFC是個矩形，因此它的對角線相等．如果連接EC，那么EC=FG，要證明AE=FG，只要證明EC=AE即可．證明AE=EC就要通過全等三角形來實現．三角形ABE和BEC中，有∠ABD=∠CBD，有AB=BC，有一組公共邊BE，因此構成了全等三角形判定中的SAS，因此兩三角形全等，得AE=EC，即AE=GF．

試題解析：連接EC．

∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，

∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°，

∴四邊形EFCG為矩形．

∴FG=CE．

又BD為正方形ABCD的對角線，

∴∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（SAS）．

∴AE=EC．

∴AE=FG．