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【題目】在四邊形中,對角線相交于點,將繞點按逆時針方向旋轉得到,旋轉角為θθ90°),連接交于點

1)如圖1,若四邊形是正方形.

①求證:

②請直接寫出的位置關系.

2)如圖2,若四邊形是菱形,,設.判斷的位置關系,說明理由,并求出的值.

3)如圖3,若四邊形是平行四邊形,,連接,設.請直接寫出的值和的值.

【答案】(1)①證明見解析;②AC1BD1;(2k=AC1BD1,理由見解析;(3k=AC12+(kDD1)2=25

【解析】

1)①根據正方形與旋轉的性質,通過SAS證明兩三角形全等;

②由全等三角形的性質得出,通過證明進行求解;

2)根據菱形與旋轉的性質得出OC1=OAOD1=OB,∠AOC1=BOD1,進而可證明△AOC1∽△BOD1,利用相似三角形的性質進行求解;

3)同(2)的解法相似可求出k的值,根據旋轉的性質得出OD1=OB=OD,進而可得出,利用勾股定理進行求解.

1)①證明:∵四邊形ABCD是正方形,

OC=OA=OD=OBACBD

∴∠AOB=COD=90°

COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1

OC1=OCOD1=OD,∠COC1=DOD1

OC1=OD1,∠AOC1=BOD1

在△AOC1和△BOD1中,

∴△AOC1≌△BOD1SAS);

②解:AC1BD1,理由如下:

∵△AOC1≌△BOD1

,即

AC1BD1

2)解:AC1BD1,理由如下:

∵四邊形ABCD是菱形,

OC=OA=ACOD=OB=BDACBD

∴∠AOB=COD=90°

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1

OC1=OCOD1=OD,∠COC1=DOD1

OC1=OAOD1=OB,∠AOC1=BOD1

∴△AOC1∽△BOD1

∴∠OAC1=OBD1

又∵∠AOB=90°

∴∠OAB+ABP+∠OBD1=90°

∴∠OAB+ABP+OAC1=90°

∴∠APB=90°

AC1BD1

∵△AOC1∽△BOD1

=

k=

3)解:與(2)一樣可證明△AOC1∽△BOD1

k=

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1

OD1=OD,而OD=OB

OD1=OB=OD

∴△BDD1為直角三角形,即

RtBDD1中,BD12+DD12=BD2=100

∴(2AC1)2+DD12=100

AC12+(kDD1)2=25

練習冊系列答案
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