【題目】在四邊形中,對角線
、
相交于點
,將
繞點
按逆時針方向旋轉得到
,旋轉角為θ(0°<θ<90°),連接
、
,
與
交于點
.
(1)如圖1,若四邊形是正方形.
①求證:≌
.
②請直接寫出與
的位置關系.
(2)如圖2,若四邊形是菱形,
,
,設
.判斷
與
的位置關系,說明理由,并求出
的值.
(3)如圖3,若四邊形是平行四邊形,
,
,連接
,設
.請直接寫出
的值和
的值.
【答案】(1)①證明見解析;②AC1⊥BD1;(2)k=,AC1⊥BD1,理由見解析;(3)k=
,AC12+(kDD1)2=25
【解析】
(1)①根據正方形與旋轉的性質,通過SAS證明兩三角形全等;
②由全等三角形的性質得出,通過證明
進行求解;
(2)根據菱形與旋轉的性質得出OC1=OA,OD1=OB,∠AOC1=∠BOD1,進而可證明△AOC1∽△BOD1,利用相似三角形的性質進行求解;
(3)同(2)的解法相似可求出k的值,根據旋轉的性質得出OD1=OB=OD,進而可得出,利用勾股定理進行求解.
(1)①證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴OC=OA=OD=OB,AC⊥BD,
∴∠AOB=∠COD=90°,
∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1,
∴OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,
∴OC1=OD1,∠AOC1=∠BOD1,
在△AOC1和△BOD1中,
,
∴△AOC1≌△BOD1(SAS);
②解:AC1⊥BD1,理由如下:
∵△AOC1≌△BOD1,
∴,
∵,
∴,即
,
∴AC1⊥BD1;
(2)解:AC1⊥BD1,理由如下:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴OC=OA=AC,OD=OB=
BD,AC⊥BD,
∴∠AOB=∠COD=90°,
∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1,
∴OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,
∴OC1=OA,OD1=OB,∠AOC1=∠BOD1,
∴,
∴△AOC1∽△BOD1,
∴∠OAC1=∠OBD1,
又∵∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,
∴∠APB=90°,
∴AC1⊥BD1,
∵△AOC1∽△BOD1,
∴=
,
∴k=;
(3)解:與(2)一樣可證明△AOC1∽△BOD1,
∴,
∴k=;
∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1,
∴OD1=OD,而OD=OB,
∴OD1=OB=OD,
∴△BDD1為直角三角形,即,
在Rt△BDD1中,BD12+DD12=BD2=100,
∴(2AC1)2+DD12=100,
∴AC12+(kDD1)2=25.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,P是BC上一點,E是AB上一點,PD平分∠APC,PE⊥PD,連接DE交AP于F,在以下判斷中,不正確的是( )
A.當P為BC中點,△APD是等邊三角形
B.當△ADE∽△BPE時,P為BC中點
C.當AE=2BE時,AP⊥DE
D.當△APD是等邊三角形時,BE+CD=DE
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【題目】定義:在方格紙中,每個小格的頂點叫做格點,以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.已知圖1,圖2中的每一個小方格的邊長都為1.
(1)的三邊長為
,
,
.
①在圖1中畫一個符合題意的;
②求的邊
上的高線長;
(2)在的方格紙紙板中最多能剪下(要完整不拼湊)多少個與(1)中
全等的三角形?并在圖2中設計出來.
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【題目】已知,拋物線的頂點為P(3,—2),且在x軸上截得的線段AB=4.
(1)求拋物線的解析式.
(2)若點Q在拋物線上,且ΔQAB的面積為12,求Q點的坐標.
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【題目】如圖1,點A在x軸上,OA=4,將OA繞點O逆時針旋轉120°至OB的位置.
(1)求經過A、O、B三點的拋物線的函數解析式;
(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點P使得以P、O、B三點為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3 )如圖2,OC=4,⊙A的半徑為2,點M是⊙A上的一個動點,求MC+OM的最小值.
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【題目】如圖,拋物線與
軸交于
,
兩點,與
軸交于點
,點
與點
關于
軸對稱.
(1)求點,
,
的坐標;
(2)求直線的解析式;
(3)在直線下方的拋物線上是否存在一點
,使
的面積最大?若存在,求出點
的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】(1)如圖1,菱形的頂點
、
在菱形
的邊上,且
,請直接寫出
的結果(不必寫計算過程)
(2)將圖1中的菱形繞點
旋轉一定角度,如圖2,求
;
(3)把圖2中的菱形都換成矩形,如圖3,且,此時
的結果與(2)小題的結果相比有變化嗎?如果有變化,直接寫出變化后的結果(不必寫計算過程);若無變化,請說明理由.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.“打開電視機,正在播世界杯足球賽”是必然事件
B.甲組數據的方差是,乙組數據的方差是
,則乙組數據比甲組數據穩定
C.一組數據2,3,4,5,5,6的眾數和中位數都是5
D.“擲一枚硬幣,正面朝上的概率是0.5”表示每拋擲硬幣2次就有1次正面朝上
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【題目】給定一個函數,如果這個函數的圖象上存在一個點,它的橫、縱坐標相等,那么這個點叫做該函數的不變點.
(1)一次函數的不變點的坐標為______.
(2)二次函數的兩個不變點分別為點
(
在
的左側),將點
繞點
順時針旋轉90°得到點
,求點
的坐標.
(3)已知二次函數的兩個不變點的坐標為
.
①求的值;
②如圖,設拋物線與線段
圍成的封閉圖形記作
.點
為一次函數
的不變點,以線段
為邊向下作正方形
.當
兩點中只有一個點在封閉圖形
的內部(不包含邊界)時,求出
的取值范圍.
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