Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．

（1）在x軸上找一點(diǎn)D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP＝DQ＝m，問是否存在這樣的m，使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（，0）；（2）存在，當(dāng)m＝或時，△APQ與△ADB相似，理由見解析

【解析】

（1）如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，可證△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可證△ABC∽△BDC，可得，可求CD的長，即可求點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解．

（1）如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，

∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，

∴△ABC∽△ADB，

∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，

∴△ABC∽△BDC，

∴

∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC＝4，

∵BC＝AC．

∴BC＝3，

∴AB＝＝＝5，

∵，

∴，

∴CD＝，

∴AD＝AC+CD＝4+＝，

∴OD＝AD﹣AO＝，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，0）；

（2）如圖2，當(dāng)∠APC＝∠ABD＝90°時，

∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，

∴△APQ∽△ABD，

∴，

∴

∴m＝，

如圖3，當(dāng)∠AQP＝∠ABD＝90°時，

∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，

∴△APQ∽△ADB，

∴，

∴

∴m＝；

綜上所述：當(dāng)m＝或時，△APQ與△ADB相似．