Question

【題目】順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，所得四邊形是( )

A. 矩形 B. 平行四邊形 C. 菱形 D. 任意四邊形

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據題意畫出四邊形ABCD，E，F，G，H分別為各邊的中點，寫出已知，求證，由E，H分別為AB，AD的中點，得到EH為三角形ABD的中位線，根據三角形的中位線定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH與FG平行且相等，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得出EFGH為平行四邊形，再由EF為三角形ABC的中位線，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根據鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得證．

順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，所得四邊形是菱形，
如圖所示：

已知：E，F，G，H分別為四邊形ABCD各邊的中點，且AC=BD，
求證：四邊形EFGH為菱形，
證明：∵E，F，G，H分別為四邊形ABCD各邊的中點，
∴EH為△ABD的中位線，FG為△CBD的中位線，
∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG=BD，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
又EF為△ABC的中位線，
∴EF=AC，又EH=BD，且AC=BD，
∴EF=EH，
∴四邊形EFGH為菱形．
故選：C