Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，點P在線段AB上運動，設AP＝，現將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原．

（1）當＝0時，折痕EF的長為　 　；當點E與點A重合時，折痕EF的長為　　；

（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當＝2時菱形的邊長；

（3）令EF2＝，當點E在AD、點F在BC上時，寫出與的函數關系式．當取最大值時，判斷△EAP與△PBF是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請說明理由．溫馨提示：用草稿紙折折看，或許對你有所幫助哦！

Answer 1

【答案】（1）3；；（2）1≤≤3，時菱形邊長為；（3）＝92+9；當取最大值時△EAP∽△PBF，＝3﹣2．

【解析】

（1）當＝0時，點A與點P重合，則折痕EF的長等于矩形ABCD中的AB的長；當點E與點A重合時，折痕是以AD為邊的正方形的角平分線，可求EF＝；

（2）由題意可知，要想使四邊形EPFD為菱形，則EF與DP互相垂直平分線段，所以點E必須要在線段AB上，點F必須在線段DC上，由此確定的取值范圍．再利用勾股定理確定菱形的邊長；

（3）構造直角三角形，利用相似三角形的對應線段成比例確定的值，再利用二次函數的增減性確定的最大值．

（1）當＝0時，折痕EF＝AB＝3；

當點E與點A重合時，折痕EF＝．

（2）1≤≤3．

當＝2時，如圖1，連接DE、PF．

∵EF為折痕，

∴DE＝PE，

令PE為m，則AE＝2-m，DE＝m，

在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2

∴1+(2-m)2＝m2，解得m＝；

此時菱形邊長為．

（3）如圖2，過E作EH⊥BC；

∵△EFH∽△DPA，

∴，即

∴FH＝3x；

∴＝EF2＝FH2+EH2＝92+9；

當F與點C重合時，如圖3，連接PF；

∵PF＝DF＝3，

∴PB＝，

∴0≤≤3-；

∵函數＝92+9的值在軸的右側隨的增大而增大，

∴當＝3-時，有最大值，

此時∠EPF＝90°，△EAP∽△PBF．

綜上所述，當取最大值時△EAP∽△PBF，＝3-．