Question

【題目】如圖，已知AO為Rt△ABC的角平分線，∠ACB＝90°，以O為圓心，OC為半徑的圓分別交AO，BC于點D，E，連接ED并延長交AC于點F．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）當時，求的值；

（3）在（2）的條件下，若⊙O的半徑為4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）的值為．

【解析】

（1）作OG⊥AB于點G，運用角平分線的性質證明；

（2）根據線段比例關系，設未知數表示線段AC、BC的長度，運用勾股定理和切線長定理，求出BG，易證△∽△，根據相似三角形對應線段成比例求出OG，進而分別求出CE

和BE，據此求解；

（3）由CE＝＝2×4，求出的值，從而求出AC、BC，運用勾股定理求出AO，則AD=AO-OD，證明△DFA∽△CDA，根據對應線段成比例求出AF，則CF=AC-AF，進而求出．

（1）證明：作OG⊥AB于點G．

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC，

∵AO為Rt△ABC的角平分線，

∴OG=OC

∴AB是⊙O的切線；

（2）∵

∴設，，

∵∠ACB＝90°

∴，

∵AB、AC是⊙O的切線，

∴

∴，

∵，=90°，

∴∽，

∴，即，

∴，

∴，，

∴；

（3）連接CD．

由（2）得CE＝＝2×4，

解得＝3，

∴AC＝12，BC＝9，

∴AO，

AD＝AO﹣OD＝4﹣4，

∵CE是O的直徑，

∴∠CDE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CDE=∠ACB=90°，

∴∠CED+∠ECD=∠ECD+∠ACD=90°，

∴∠CED=∠ACD，

∵OD=OE，

∴∠CED=∠ODE，

又∵∠ODE=∠ADF，

∴∠ADF=∠ACD，

又∵∠DAF=∠CAD

∴△DFA∽△CDA，

∴，

即，

解得 AF，

CF12﹣，

∴，

故求得的值為．