Question

18．如圖，△ABC中AD是∠A的平分線，E是AD的中點，EF⊥AD交BC的延長線于F．求證：DF²=CF•BF．

Answer 1

分析 利用垂直平分線的性質得出AF=DF，進而利用外角的性質得出∠B=∠1，即可得出△ACF∽△BAF，即可得出答案．

解答 證明：連接AF，
∵AD的垂直平分線交BC的延長線于F，
∴AF=DF，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{CF}{AF}$，
∴AF²=CF•BF，
即DF²=CF•BF．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質，根據已知得出∠B=∠1是解題關鍵．