Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，CD=6，則圖中陰影部分面積為（ ）

A. π–24 B. 9π C. π–12 D. 9π–6

Answer 1

【答案】A

【解析】

過點O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，根據垂徑定理求出AE、CF，再利用勾股定理列式求出OE=OF，從而得到AE=OF，OE=CF，然后利用“邊角邊”證明△AOE和△OCF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AOE=∠OCF，再求出∠AOE+∠COF=90°，然后求出∠AOB+∠COD=180°，把弧CD旋轉到點D與點B重合，構建直角三角形ABC；然后根據圓的面積公式和直角三角形的面積公式來求陰影部分的面積：陰影面積=半圓面積-直角三角形ABC的面積．

解：如圖1，過點O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，

由垂徑定理得，AE=AB=×8=4，CF=CD=×6=3，

由勾股定理得，OE===3，

OF===4，

∴AE=OF，OE=CF，

在△AOE和△OCF中，，

∴△AOE≌△OCF（SAS），∴∠AOE=∠OCF，

∵∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOE+∠COF=90°，

∴∠AOB+∠COD=2（∠AOE+∠COF）=2×90°=180°，

如圖2把弧CD旋轉到點D與點B重合．

∴△ABC為直角三角形，且AC為圓的直徑；

∵AB=8，CD=6，∴AC=10（勾股定理），

∴陰影部分的面積=S半圓–S△ABC=π×52–×6×8=π–24；

故選A．