Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且點C的坐標是（0，1），點B的坐標是（，1），拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點B和點C．

（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式：

（2）將△OAC沿直線AC折疊，點O的對稱點記為點D，請判斷：點D是否在拋物線上？并說明理由；

（3）點E為線段AC上的一個動點．

①若點P在拋物線上，其橫坐標為m，當PE⊥AC且PE＝時．請直接寫出m的值；

②若點F為線段AB上一個動點，且CE＝AF，當OE+OF的值最小時，請直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+l；（2）不在；（3）①m＝2±2或；②

【解析】

（1）將點B、C坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）不在，理由：利用△CDG∽△DHA，求得點D的坐標是（，），即可求解；

（3）①設點P的坐標為（m，﹣m2+m+1），點E（n，﹣n+1），利用EH＝|﹣n+1+m2﹣m﹣1|＝1，PH＝|m﹣n|＝，即可求解；

②將矩形ABCO圍繞點C逆時針旋轉60°至矩形O′A′B′C，則圖示位置為圖象旋轉后的位置，當B′、E、O三點共線時，OE+OF＝OB′最小，即可求解．

解：（1）將點B坐標代入二次函數表達式得：1＝﹣3+b+1，解得：b＝，

故二次函數表達式為：y＝﹣x2+x+l；

（2）不在，理由：

過點D作x軸的平行線分別交AB的延長線和y軸于點G、H，

∴∠CDA＝90°，∠GDC+HDA∠＝90°，∠HDA+∠DAH＝90°，

∴∠DAH＝∠GDC，

∴△CDG∽△DHA，

∴，

解得：DG＝，HA＝，故：點D的坐標是（，），

將代入拋物線表達式，則y＝≠所以點D不在拋物線上；

（3）①∵PE⊥AC，∴∠PEH+∠HEA＝90°，∠HEA+∠EAO＝90°，

∴∠PEH＝∠CAO＝α，

點B的坐標是（，1），tan∠ABC＝＝tanα，即：∠ABC＝30°＝α，

PH＝PEsinα＝，EH＝1，

把點AC的表達式為：y＝kx+1，把點A坐標代入并求解得：

直線AC的表達式為：y＝﹣x+1，

設點P的坐標為（m，﹣m2+m+1），點E（n，﹣n+1），

EH＝|﹣n+1+m2﹣m﹣1|＝1…①，

PH＝|m﹣n|＝…②，

聯立①②并解得：m＝2±2或；

②∵∠ABC＝30°，∴△O′OC為等邊三角形，

將矩形ABCO圍繞點C逆時針旋轉60°至矩形O′A′B′C，則圖示位置為圖象旋轉后的位置，

連接O′F′、B′E、OE，∵CE＝AF＝A′F′，

∴四邊形O′F′B′E為平行四邊形，

∴OE+OF＝OE+B′E，故：當B′、E、O三點共線時，OE+OF＝OB′最小，

旋轉后點B′O′與x軸垂直，則yB′＝AB+A′C＝+＝，同理xB′＝，

即點B′（，），

則直線OB′的表達式為：y＝x，

同理可得直線AC的表達式為：y＝﹣x+1，

以上兩式聯立并求解得：x＝，y＝，

即點E（，），

同理可得點．